チェビシェフ多項式はロシアの数学者チェビシェフ(1821〜1894)が発見したもので，非常に多くの応用があるとても重要な多項式で，大学入試でもしばしば出題されます。

記念すべき第一回の今回は，チェビシェフ多項式の定義をして，定義からすぐに導かれる簡単な性質をいくつか紹介します。

-------------------------------------------------------------

cosの倍角公式，３倍角公式はよく知られています。

これらは加法定理を用いて導かれますが，加法定理をさらに何度も繰り返し用いると，cosの４倍角の公式，５倍角の公式・・・も導かれます。

これらから，任意の自然数ｎに対して，cosｎθはcosθのｎ次多項式で表されることが予想されます。

実際，そのことは以下の【性質２】を用いて数学的帰納法により示されます。

ここに現れる多項式が，チェビシェフ多項式と呼ばれるものです。

各次数に対して１つずつ存在し，ｎ次のチェビシェフ多項式をTn(x)と表します。

次数が０や１のときも考えると，以下のようになります。

これらの多項式から，壮大な理論体系が始まります。

是非，はじめの５つ程度は覚えて下さい。

ここから，チェビシェフ多項式の性質を見ていきましょう。

まず，定義そのものですが，以下のことが成り立ちます。

ｎについては，何も書かなければ０以上の整数を表すこととします。

さて，cosの和積の公式から，次のことが成り立つことに注意します。

この式から，チェビシェフ多項式の存在がきちんと示されます。

cosｎθとcos (n+1)θがそれぞれcosθのｎ次式，(n+1)次式で表されると仮定すると，cos (n+2)θがcosθの(n+2)次式で表されることが分かるので，あとは数学的帰納法を使うだけです。

そしてこの式から，チェビシェフ多項式に関する３項間の漸化式が得られます。

（厳密には，まずはこの式のｘがcosθと表される場合，つまり−１≦ｘ≦１の場合が示され，その後で，両辺多項式なので全ての実数ｘに対して成立することが分かる，という流れになります。）

また，上の画像の10次までのチェビシェフ多項式を眺めていると，実に色々な性質があることに気づきます。

まずは，ｎ次のチェビシェフ多項式は，ｎが偶数のときはｘの偶数次の項しかなく，またｎが奇数のときにはｘの奇数次の項しかありません。

このことから，以下のことが予想され，実際，チェビシェフ多項式が満たす３項間漸化式（【性質２】）を使って数学的帰納法により容易に証明されます。

また，係数についてもいろいろ分かりますが，一部だけを挙げておくと，

が成り立ちます。これも【性質３】と同様にして示されます。

また，全係数の和が１であることにも気づきます。

これは，チェビシェフ多項式にｘ＝１を代入すると１になるということに他なりません。

これは【性質１】にθ＝０を代入すれば得られますし，もちろん【性質３】や【性質４】と同様，【性質２】を使って数学的帰納法で示すこともできます。

今回はここまでにします。